Zrcadlový obraz trojúhelníku
Na čtvercové síti je nakreslen trojúhelník ABC s vrcholy:
- A na souřadnicích (2, 2)
- B na souřadnicích (5, 2)
- C na souřadnicích (2, 5)
(První číslo je sloupec / x-souřadnice, druhé je řádek / y-souřadnice. V síti jdeš zleva doprava a zdola nahoru.)
Trojúhelník chceme zrcadlově překlopit podle svislé osy procházející bodem x = 7. Vznikne tak nový trojúhelník A′B′C′.
a) Jaké budou souřadnice vrcholů A′, B′, C′?
b) Jaká je vzdálenost (počet čtverečků) mezi A a A′? A mezi B a B′?
c) Co platí o vzdálenosti vrcholu B od osy a vrcholu B′ od osy? Vyjádři tuto vlastnost obecně.
Zobrazit řešení
Osová souměrnost má jednu základní vlastnost: každý bod a jeho obraz mají stejnou vzdálenost od osy, ale na opačných stranách.
Pro svislou osu x = 7 to znamená: pokud je bod (a, b) ve vzdálenosti d od osy nalevo (tedy a < 7), jeho obraz bude ve vzdálenosti d napravo od osy (tedy x-souřadnice obrazu = 7 + d = 14 − a). Y-souřadnice zůstává stejná.
Zkrácený vzorec pro překlopení podle osy x = k:
(a, b) → (2k − a, b)
Pro naši osu x = 7 platí: (a, b) → (14 − a, b).
Vyzkoušíme to na všech třech vrcholech.
-
Souřadnice zrcadlového obrazu.
Pro osu x = 7 platí (a, b) → (14 − a, b):
A(2, 2) → A′: x = 14 − 2 = 12, y = 2 → A′(12, 2).
B(5, 2) → B′: x = 14 − 5 = 9, y = 2 → B′(9, 2).
C(2, 5) → C′: x = 14 − 2 = 12, y = 5 → C′(12, 5). -
Vzdálenosti mezi původním vrcholem a jeho obrazem.
Vzdálenost A a A′: oba mají y = 2, takže je to jen rozdíl x-souřadnic.
|12 − 2| = 10 čtverečků.
Vzdálenost B a B′: oba mají y = 2.
|9 − 5| = 4 čtverečky.
Postřeh: Vzdálenost není konstantní — A je dál od osy, takže i A a A′ jsou dál od sebe. -
Vlastnost vzdálenosti od osy.
B(5, 2): vzdálenost od osy x = 7 je |7 − 5| = 2.
B′(9, 2): vzdálenost od osy x = 7 je |9 − 7| = 2.
Vzdálenosti jsou stejné.
Obecná vlastnost: Bod a jeho zrcadlový obraz mají vždy stejnou vzdálenost od osy souměrnosti, ale leží na opačných stranách osy. To je definující vlastnost osové souměrnosti.
Z toho také plyne, že vzdálenost mezi původním bodem a jeho obrazem je dvojnásobkem vzdálenosti tohoto bodu od osy. (B je 2 čtverečky od osy, B a B′ jsou 4 čtverečky od sebe ✓. A je 5 čtverečků od osy, A a A′ jsou 10 čtverečků od sebe ✓.)
a) A′(12, 2), B′(9, 2), C′(12, 5).
b) Vzdálenost A k A′ = 10 čtverečků. Vzdálenost B k B′ = 4 čtverečky.
c) Bod a jeho zrcadlový obraz mají stejnou vzdálenost od osy souměrnosti. Vzdálenost mezi bodem a jeho obrazem je dvojnásobkem vzdálenosti bodu od osy.
Častá chyba č. 1 — překlopení se znaménkem ne osou. Žák napíše „A(2, 2) → A′(−2, 2)" — překlopil přes osu x = 0 (svislá osa souřadnic), ne přes osu x = 7. Pozor, osa souměrnosti není automaticky x = 0! Vždy zkontroluj, kde osa leží, a počítej vzdálenost od ní.
Častá chyba č. 2 — záměna x a y souřadnic. Při překlopení podle svislé osy se mění jen x-souřadnice, y zůstává. Při překlopení podle vodorovné osy je to naopak. Vždy si rozmysli, jaká je osa, a které souřadnice se mění.
Tip pro CERMAT: U úloh na osovou souměrnost si nakresli situaci na grafový papír (čtvercovou síť). Spočítej vzdálenost každého původního bodu od osy, pak ji „přidej" na druhou stranu osy. Vizuálně je to mnohem jednodušší než počítat ve vzorci.
Klíčové vlastnosti osové souměrnosti:
• Bod na ose souměrnosti zůstává tam, kde je (jeho obraz je on sám) — říká se mu samodružný bod.
• Bod a jeho obraz jsou ve stejné vzdálenosti od osy, ale na opačných stranách.
• Spojnice bodu a jeho obrazu je kolmá na osu souměrnosti.
• Délky úseček, obvody a obsahy se zachovávají (zrcadlový obraz je stejně velký jako originál).
• Orientace se převrací (obraz pravé ruky vypadá jako levá ruka).