Cestička v lesoparku
V lesoparku je značená cestička, která má 4 ostré zatáčky. Mezi pěti značkami A, B, C, D, E jsou tyto úseky:
- A → B: 100 m
- B → C: 80 m
- C → D: 70 m
- D → E: 50 m
Když by ses vydal vzdušnou čarou přímo z bodu A do bodu E (skrz les), urazil bys jen 250 m.
a) Jaká je celková délka klikatící se cestičky (po značené trase)?
b) O kolik metrů delší je značená cesta oproti vzdušné čáře?
c) Pokud chceš jít tam i zpátky po značené cestičce, kolik metrů celkem ujdeš?
Zobrazit řešení
Tato úloha pracuje s lomenou čárou — to je posloupnost úseček, které na sebe navazují. Délka lomené čáry je součet délek všech jejích úseček.
Druhá zajímavost úlohy je porovnání s vzdušnou čarou (úsečka přímo mezi krajními body A a E). Vzdušná čára je vždycky nejkratší vzdáleností mezi dvěma body — proto je značená cestička nutně delší. Kolik navíc ujdeš po klikatící se trase, je rozdíl těchto dvou délek.
Princip „nejkratší vzdálenosti": Mezi dvěma body je vzdušná čára vždy kratší nebo nejhůř stejná jako jakákoli jiná cesta. To je důležitá geometrická vlastnost — i z ní vyplývá, že trojúhelníková nerovnost platí (součet dvou stran trojúhelníku je vždy větší než třetí strana).
-
Celková délka cestičky.
Sečteme všechny úseky:
100 + 80 + 70 + 50 = 300 m.
Celá značená cestička z A do E měří 300 metrů. -
Rozdíl oproti vzdušné čáře.
Vzdušná čára: 250 m.
Cestička: 300 m.
Rozdíl: 300 − 250 = 50 m.
Klikatící se cestička je o 50 metrů delší než přímá vzdálenost. -
Cesta tam a zpátky.
Dvojnásobek délky cestičky:
2 × 300 = 600 m.
Pokud projdeš cestičku tam a zpátky, ujdeš celkem 600 metrů.
Bonus: Pokud bys jel vzdušnou čarou tam i zpět, bylo by to 2 × 250 = 500 m, tedy o 100 m méně. Pohyb po cestičce „kradeš" čas a vzdálenost — ale je to bezpečnější (nejdeš lesem napřímo).
a) Celková délka cestičky je 300 m.
b) Cestička je o 50 m delší než vzdušná čára.
c) Cesta tam i zpátky je celkem 600 m.
Častá chyba č. 1: Žák zapomene na nějaký úsek a počítá jen 3 ze 4. Pomůcka: označ si v zadání každou položku a po sečtení odškrtni. U lomené čáry s N body je vždy N−1 úseků (zde 5 bodů, 4 úseky).
Častá chyba č. 2: Tvrzení, že „klikatící cestička může být kratší než vzdušná čára". To není možné v rovině. Vzdušná čára je vždy nejkratší vzdálenost mezi dvěma body. Pokud ti vyjde menší cestička než vzdušná čára, někde je chyba.
Tip pro CERMAT: U lomených čar a cest si vždy zkontroluj logiku orientačně. Pokud máš mezi A a E přímou vzdálenost 250 m, klikatící cestička musí být aspoň 250 m. Pokud ti vyjde méně, jdeš špatným směrem.
Pomůcka „trojúhelníková nerovnost": Pro libovolný trojúhelník platí, že součet kterýchkoli dvou stran je vždy větší než třetí strana. To znamená, že jakákoli „cesta s odbočkou" je vždy delší než přímá vzdálenost. Tato vlastnost je důležitá v mnoha geometrických úlohách na 5. třídě i později.