Spojení kamarádů
Skupina kamarádů se domluvila, že si všichni mezi sebou navzájem vymění telefonní čísla. Každá dvojice si vymění čísla právě jednou — když si je vymění A s B, není potřeba, aby si B vyměnil čísla s A znovu.
a) Kolik výměn proběhne mezi 4 kamarády?
b) Kolik výměn proběhne mezi 5 kamarády?
c) Najdi obecné pravidlo a spočítej, kolik výměn proběhne mezi 6 kamarády.
Pozn.: Tahle úloha vlastně ptá „kolik úseček vznikne, když propojíš každé dva body z N bodů v rovině" — výměna mezi A a B je „úsečka" mezi nimi.
Zobrazit řešení
Tato úloha je klasická úloha CERMAT testů — vypadá jednoduše („kolik úseček?"), ale vyžaduje systematické přemýšlení. Bez systému se snadno některá dvojice opomene, nebo se naopak spočítá dvakrát.
Strategie: Vezmi prvního kamaráda. Spočítej, s kolika dalšími si vymění čísla — to je počet ostatních (tedy N−1). Pak vezmi druhého kamaráda. Jeho výměna s prvním už je započítaná, takže přidá jen výměny s dalšími — to je N−2. A tak dál.
Celkový součet bude:
(N−1) + (N−2) + (N−3) + … + 2 + 1
Pro 4 lidi: 3 + 2 + 1 = 6. Pro 5 lidí: 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Pro 6 lidí: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
Existuje i zkrácený vzorec:
počet úseček = N × (N−1) ÷ 2
Pro N = 5: 5 × 4 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. ✓
-
Pro 4 kamarády (A, B, C, D).
A si vymění čísla s B, C, D → 3 výměny.
B si vymění s C, D (s A už proběhlo) → 2 výměny.
C si vymění s D (s A a B už proběhlo) → 1 výměna.
D už proběhlo se všemi → 0 výměn.
Celkem: 3 + 2 + 1 + 0 = 6 výměn.
Kontrola pomocí vzorce: 4 × 3 ÷ 2 = 6 ✓ -
Pro 5 kamarádů (A, B, C, D, E).
A: vymění s 4 dalšími.
B: vymění s 3 dalšími (kromě A).
C: vymění s 2 dalšími (kromě A, B).
D: vymění s 1 dalším (E).
E: žádné nové.
Celkem: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 výměn.
Kontrola: 5 × 4 ÷ 2 = 10 ✓ -
Obecné pravidlo a pro 6 kamarádů.
Pro N kamarádů platí vzorec:
počet výměn = N × (N−1) ÷ 2
Proč to funguje? N × (N−1) je počet uspořádaných dvojic (A si vymění s B i B si vymění s A — dvě varianty, ale obě jsou ta samá výměna). Proto dělíme 2.
Pro 6 kamarádů: 6 × 5 ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15 výměn.
Kontrola pomalou metodou: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 ✓
a) Mezi 4 kamarády proběhne 6 výměn.
b) Mezi 5 kamarády 10 výměn.
c) Vzorec: N × (N−1) ÷ 2. Mezi 6 kamarády proběhne 15 výměn.
Častá chyba č. 1: Počítání s opakováním. „4 kamarádi, každý má 3 výměny → 4 × 3 = 12 výměn." Tahle úvaha počítá každou výměnu dvakrát. Když A si vymění s B, je to jedna výměna — ne dvě. Proto musíš výsledek vydělit dvěma.
Častá chyba č. 2: Předpoklad, že vzorec je „N − 1" (počet výměn = počet kamarádů mínus jeden). To by platilo, kdyby všichni vyměnili jen s jednou osobou (například ve štafetě). Tady ale vyměňují každý s každým, takže je výměn mnohem víc.
Tip pro CERMAT: U úloh „kolik úseček/spojení/rukou se podá" si vždy nejdřív vyzkoušej malý případ (2 lidé, 3 lidé) a najdi pravidlo. Pro 2 lidi 1 výměna. Pro 3 lidi 3 výměny. Pro 4 lidi 6 výměn. Vidíš trojúhelníkový vzor — to je tzv. „trojúhelníková čísla".
Klíčový vzorec — zapamatuj si:
Z N bodů (objektů) lze vytvořit N × (N−1) ÷ 2 dvojic.
Stejný vzorec funguje pro úsečky z bodů, pro výměny mezi lidmi, pro zápasy v turnaji „každý s každým" i pro mnoho dalších úloh.
Tabulka pro snadnou kontrolu:
• 2 body → 1 úsečka
• 3 body → 3 úsečky
• 4 body → 6 úseček
• 5 bodů → 10 úseček
• 6 bodů → 15 úseček
• 7 bodů → 21 úseček