Skákavá pravidla
Tomáš nakreslil zvláštní číselnou řadu, kde se pravidlo „mění": jednou je to jedno, podruhé jiné, a tak střídavě dál.
Řada vypadá takto:
5, 8, 16, 19, 38, ?, ?, ?
a) Najdi pravidlo (jaké dvě operace se střídají?).
b) Doplň další dvě čísla řady.
c) Doplň ještě jedno číslo navíc (osmé v řadě) a vysvětli, jak ses k němu dostal.
Zobrazit řešení
U této řady nezafunguje „konstantní rozdíl" ani „konstantní poměr". Zkusme se podívat na vztahy mezi sousedy:
5 → 8: rozdíl +3
8 → 16: poměr ×2
16 → 19: rozdíl +3
19 → 38: poměr ×2
38 → 41: rozdíl +3 (předpoklad)
41 → 82: poměr ×2 (předpoklad)
Vzor se opakuje: +3, pak ×2, +3, ×2, … — to je tzv. střídavé pravidlo.
Strategie pro střídavá pravidla: Když jednotné pravidlo (samé +X, samé ×X) nefunguje, vyzkoušej, jestli se nestřídají dvě jednoduchá pravidla. Spočítej operace mezi sousedy a sleduj rytmus.
-
Pravidlo.
Podíváme se na operace mezi sousedními čísly:
5 → 8: +3
8 → 16: ×2
16 → 19: +3
19 → 38: ×2
Vzor: střídavě +3 a ×2.
Pravidlo: liché pozice používají +3, sudé ×2 (nebo naopak, záleží od kterého kroku počítáš). Z 5. čísla (38) má následovat krok +3. -
Doplnění dvou dalších čísel.
Z 38 dále:
38 + 3 = 41 (krok +3)
41 × 2 = 82 (krok ×2)
Řada se rozšiřuje na: 5, 8, 16, 19, 38, 41, 82, … -
Osmé číslo řady.
Pokračujeme stejným střídavým pravidlem:
82 + 3 = 85 (krok +3)
Osmé číslo řady je 85.
Pro úplnost: deváté by bylo 85 × 2 = 170, desáté 170 + 3 = 173, atd.
Rychlá kontrola: Celá řada na 8 členů: 5, 8, 16, 19, 38, 41, 82, 85. Operace mezi nimi: +3, ×2, +3, ×2, +3, ×2, +3 ✓ střídá se podle pravidla.
a) Pravidlo: střídavě +3 a ×2.
b) Další dvě čísla: 41, 82.
c) Osmé číslo řady: 85 (z 82 přidáme +3).
Častá chyba č. 1: Zaměřit se jen na rozdíly mezi sousedy a ignorovat poměry. Žák spočítá: 3, 8, 3, 19 (rozdíly) a nenajde pravidlo, vzdá to. Když rozdíly nevykazují vzor, vyzkoušej poměry a poté střídání operací.
Častá chyba č. 2: Pokus „nadměrně" zobecnit pravidlo. Když najdeš první dva kroky (+3, ×2), předpokládej, že pravidlo bude pokračovat stejně, ale ověř to u dalších čísel v řadě. Pokud máš 5 členů řady a první dvě operace nedokáží dát další 3 členy, asi je pravidlo jiné.
Tip pro CERMAT: U úloh s číselnou řadou si vždy napiš pod každou „mezeru" mezi čísly, jaká je tam operace. Pak se vzor stane viditelný. Tato „spodní řada operací" ti odhalí, jestli jde o stálé pravidlo nebo střídavé.
Další typy řad k zapamatování:
• Aritmetická: konstantní rozdíl (např. 3, 7, 11, 15…)
• Geometrická: konstantní poměr (např. 3, 6, 12, 24…)
• Střídavá: dvě operace se střídají (např. +3, ×2, +3, ×2…)
• Fibonacci: každé číslo = součet dvou předchozích (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…)
• Mocninová: druhé mocniny (1, 4, 9, 16…) nebo třetí (1, 8, 27, 64…)
• Trojúhelníková: postupný součet 1+2+3+… (1, 3, 6, 10, 15…)