Magický čtverec
V magickém čtverci 3 × 3 jsou v devíti políčkách rozmístěna čísla 1 až 9 (každé právě jednou) tak, aby součet čísel v každém řádku, v každém sloupci a v obou úhlopříčkách byl stejný.
V dané tabulce jsou některá čísla již doplněna:
a) Spočítej magický součet (součet jednoho úseku — řádku, sloupce nebo úhlopříčky).
b) Doplň všechna chybějící čísla (použij čísla 1 až 9, každé právě jednou).
c) Ověř, že všechny řádky, sloupce i obě úhlopříčky mají skutečně stejný součet.
Zobrazit řešení
Magický čtverec 3 × 3 s čísly 1-9 má vždy magický součet 15. Proč? Součet všech čísel od 1 do 9 je:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Tento součet je rozdělen do 3 řádků (nebo 3 sloupců). Každý řádek má stejný součet, takže každý je 45 ÷ 3 = 15.
Druhá užitečná fakta: v magickém čtverci 3 × 3 je vždy uprostřed číslo 5. To už máme v zadání. Z této pozice se dá odvodit zbytek čtverce systematicky.
Strategie: Postupně doplň pole, kde už znáš dvě ze tří čísel v daném řádku/sloupci/úhlopříčce. Když znáš dvě, třetí dopočítáš jako 15 mínus součet těch dvou.
-
Magický součet.
Z hlavní úhlopříčky (vlevo nahoře → vpravo dole) máme všechna 3 čísla: 2 + 5 + 8 = 15.
Magický součet je 15.
Kontrola: Celkový součet 1+2+3+…+9 = 45. Rozděleno do 3 řádků: 45 ÷ 3 = 15 ✓. -
Doplnění chybějících čísel.
Pojďme krok za krokem. Označíme pole takto:
a b c
d e f
g h i
Zadání: a = 2, c = 4, e = 5, i = 8. Hledáme: b, d, f, g, h.
1) Horní řádek (a + b + c = 15): 2 + b + 4 = 15 → b = 9.
2) Pravý sloupec (c + f + i = 15): 4 + f + 8 = 15 → f = 3.
3) Vedlejší úhlopříčka (c + e + g = 15): 4 + 5 + g = 15 → g = 6.
4) Dolní řádek (g + h + i = 15): 6 + h + 8 = 15 → h = 1.
5) Levý sloupec (a + d + g = 15): 2 + d + 6 = 15 → d = 7.
Vyplněný čtverec:
2 9 4
7 5 3
6 1 8 -
Ověření všech součtů.
Řádky:
• Horní: 2 + 9 + 4 = 15 ✓
• Prostřední: 7 + 5 + 3 = 15 ✓
• Spodní: 6 + 1 + 8 = 15 ✓
Sloupce:
• Levý: 2 + 7 + 6 = 15 ✓
• Prostřední: 9 + 5 + 1 = 15 ✓
• Pravý: 4 + 3 + 8 = 15 ✓
Úhlopříčky:
• Hlavní (NW–SE): 2 + 5 + 8 = 15 ✓
• Vedlejší (NE–SW): 4 + 5 + 6 = 15 ✓
Všech 8 součtů je 15. Magický čtverec je správně doplněn.
a) Magický součet je 15.
b) Doplněný čtverec:
2 9 4
7 5 3
6 1 8
c) Všechny řádky (15+15+15), všechny sloupce (15+15+15) a obě úhlopříčky (15+15) mají součet 15. ✓
Častá chyba č. 1: Nepoznat, že magický součet u 1-9 je vždy 15. Pravidlo: pro magický čtverec 3 × 3 s čísly 1-9 platí: magický součet = (1+2+…+9) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15. Pro magické čtverce s jinými čísly funguje stejný princip: součet všech čísel ÷ velikost řádku.
Častá chyba č. 2: Doplňovat čísla mimo sadu 1-9 nebo opakovat. Připomeň si, že v magickém čtverci 1-9 je každé číslo právě jednou. Pokud ti vyjde, že máš dvě 4, pravděpodobně máš chybu jinde — vrať se a zkontroluj.
Tip pro CERMAT: U magických čtverců začni s řádkem/sloupcem/úhlopříčkou, kde už znáš dvě čísla. Pak postupuj systematicky: každé nově dopočítané číslo otevírá další možnosti. Vždy doplňuj v pořadí, jak ti to umožňuje magický součet.
Tajemství magického čtverce 3 × 3:
• Uprostřed je vždy 5 (medián řady 1-9).
• V rozích jsou sudá čísla (2, 4, 6, 8) — v libovolném pořadí.
• Na středech stran jsou lichá čísla (1, 3, 7, 9).
• Existuje 8 různých magických čtverců 3 × 3 s čísly 1-9 (rotace a zrcadlení standardního).
Bonus — magické čtverce vyšších řádů:
• 4 × 4 s čísly 1-16: magický součet 34.
• 5 × 5 s čísly 1-25: magický součet 65.
• 6 × 6 s čísly 1-36: magický součet 111.
Obecně pro n × n s čísly 1 až n² je magický součet n × (n²+1) ÷ 2.