Dva natěrači plotu
Petr a Pavel jsou bratři a každoročně pomáhají dědečkovi natřít plot kolem zahrady. Loni dědeček zjistil, jak dlouho každému z nich práce trvá sólo:
- Petr by celý plot natřel sám za 6 hodin.
- Pavel by stejný plot natřel sám za 3 hodiny (je rychlejší).
a) Jakou část plotu Petr natře za 1 hodinu?
b) Jakou část plotu Pavel natře za 1 hodinu?
c) Jakou část plotu natřou společně za 1 hodinu?
d) Za jak dlouho plot natřou, když budou pracovat společně?
Zobrazit řešení
Tato úloha procvičuje společnou práci dvou pracovníků — klasický příklad „práce a výkon". Klíčový princip:
výkony se sčítají, časy NE!
To je nejčastější chyba: žáci si průměrují časy. „Petr 6 h, Pavel 3 h, společně asi (6+3)/2 = 4,5 h." Tahle úvaha je naprosto špatně.
Správný postup:
1. Vyjádři výkon každého jako zlomek práce za jednotku času. Pokud Petr zvládne celou práci za 6 h, za 1 h zvládne 1/6 práce.
2. Sečti výkony obou pracovníků = společný výkon.
3. Spočítej čas potřebný na celou práci jako 1 ÷ společný výkon.
Logika: když oba pracují současně, každou hodinu odvedou součet svých částí — víc, než kdyby pracoval jen jeden.
-
Část plotu, kterou Petr natře za 1 hodinu.
Petr za 6 hodin natře celý plot. Za 1 hodinu tedy natře 1/6 plotu. -
Část plotu, kterou Pavel natře za 1 hodinu.
Pavel za 3 hodiny natře celý plot. Za 1 hodinu tedy natře 1/3 plotu.
Pro srovnání: 1/3 = 2/6, tedy Pavel za hodinu zvládne dvakrát víc než Petr. -
Společný výkon za 1 hodinu.
1/6 + 1/3 = ? Převedeme na společný jmenovatel:
1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 plotu za hodinu.
Společně za jednu hodinu natřou polovinu plotu. -
Doba společné práce.
Pokud za 1 hodinu natřou polovinu, celý plot natřou za:
1 ÷ (1/2) = 2 hodiny.
Společně plot natřou za 2 hodiny.
Logická kontrola: Petr sám 6 h, Pavel sám 3 h. Společně musí být kratší než 3 h (rychlejší z nich) — protože i ten pomalejší přidává něco navíc. 2 h je rozumné — sedí to.
a) Petr natře za hodinu 1/6 plotu.
b) Pavel natře za hodinu 1/3 plotu (= 2/6).
c) Společně natřou za hodinu 1/2 plotu.
d) Společně plot natřou za 2 hodiny.
Častá chyba č. 1 — TA NEJ u společné práce: Průměrování časů. „Petr 6 h, Pavel 3 h, průměr 4,5 h." Nebo dělení: „nejrychlejší dělíme dvěma, takže 1,5 h." Obě úvahy jsou špatně. Časy se NESČÍTAJÍ ani neprůměrují. Sčítají se výkony, a teprve z výsledného výkonu se znovu vypočítá čas.
Častá chyba č. 2: Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli, ale různými hodnotami. „1/6 + 1/3 = 2/9" — to je úplně špatně. Při sčítání zlomků se jmenovatele nesčítají, je potřeba je nejdřív převést na společný. 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. (Viz kategorie Zlomky a části celku, pokud si nejsi jistý.)
Tip pro CERMAT: U úloh „práce dvou nebo více" si na okraj vždy napiš tabulku:
• Pracovník A: za 1 h ___ práce (= 1/a)
• Pracovník B: za 1 h ___ práce (= 1/b)
• Společně za 1 h: ___ + ___ = ___ práce
• Společně celá práce: 1 ÷ (společný výkon) = ___ h
Tato struktura ti eliminuje chyby.
Souhrn pravidla:
• Když ti zadání říká „kolik práce za 1 hodinu", odpovědí je zlomek (1/a).
• Když ti říká „za jak dlouho celou práci", odpovědí je obrácená hodnota (1 ÷ tempo).
• Sčítají se tempa, ne časy.