Bazén — přítok a odtok
Na zahradě stojí bazén, který má dvě trubky — jednu plnicí (přítok) a jednu vypouštěcí (odtok). Tatínek zjistil, jak rychle každá z nich pracuje:
- Plný přítok by prázdný bazén naplnil za 4 hodiny.
- Plný odtok by plný bazén vyprázdnil za 6 hodin.
Jednou ráno se stala chyba: tatínek otevřel přítok, ale zapomněl uzavřít odtok. Oba běží zároveň.
a) Jakou část bazénu naplní přítok za 1 hodinu?
b) Jakou část bazénu vyprázdní odtok za 1 hodinu?
c) Jaká je čistá rychlost plnění, pokud oba běží najednou?
d) Za jak dlouho se prázdný bazén naplní, když poběží oba zároveň?
Zobrazit řešení
Tato úloha je variantou společné práce, ale s důležitým rozdílem: jeden z „pracovníků" pracuje proti druhému. Přítok přidává vodu, odtok ji ubírá. Jejich výkony se proto odečítají, ne sčítají.
Analogie: vzpomeň si na pohybové úlohy. Když se dva objekty pohybují proti sobě, rychlosti se sčítají. Když jeden dohání druhý (stejný směr), rychlosti se odčítají. Tady je to podobné — odtok „pracuje proti" přítoku.
Postup:
1. Vyjádři tempo každé trubky jako zlomek (bazén za hodinu).
2. Odečti tempo odtoku od tempa přítoku = čistá rychlost plnění.
3. Vypočítej čas potřebný na naplnění jako 1 ÷ čistá rychlost.
Důležitá kontrola: přítok musí být rychlejší než odtok, jinak by se bazén nikdy nenaplnil. Tady přítok = 1/4 za hodinu, odtok = 1/6 za hodinu. 1/4 > 1/6, takže to vyjde — bazén se sice naplní, ale pomaleji než s pouze přítokem.
-
Část bazénu naplněná přítokem za 1 hodinu.
Přítok by celý bazén naplnil za 4 hodiny. Za 1 hodinu tedy naplní 1/4 bazénu. -
Část bazénu vyprázdněná odtokem za 1 hodinu.
Odtok by celý bazén vyprázdnil za 6 hodin. Za 1 hodinu tedy vyprázdní 1/6 bazénu. -
Čistá rychlost plnění.
Odečteme tempo odtoku od tempa přítoku:
1/4 − 1/6 = ?
Převedeme na společný jmenovatel 12:
1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12.
3/12 − 2/12 = 1/12 bazénu za hodinu.
Když oba běží, voda v bazénu přibývá rychlostí 1/12 objemu za hodinu. -
Doba na naplnění bazénu.
Pokud za 1 hodinu přibyde 1/12 bazénu, celý bazén bude naplněn za:
1 ÷ (1/12) = 12 hodin.
Logická kontrola: Sám přítok by bazén naplnil za 4 hodiny. S otevřeným odtokem to musí být déle, protože něco z napuštěné vody odtéká. 12 hodin je výrazně více než 4 hodiny — dává to smysl.
Druhá kontrola: Za 12 hodin přítok dodá 12 × (1/4) = 3 bazény vody. Za stejnou dobu odtok odebere 12 × (1/6) = 2 bazény vody. Čistý zisk: 3 − 2 = 1 bazén. ✓
a) Přítok naplní za hodinu 1/4 bazénu.
b) Odtok vyprázdní za hodinu 1/6 bazénu.
c) Čistá rychlost plnění je 1/12 bazénu za hodinu.
d) Bazén se naplní za 12 hodin.
Častá chyba č. 1: Sčítání místo odčítání. Žák napíše „1/4 + 1/6 = 5/12" a dostane 12/5 = 2,4 hodiny — což je dokonce rychleji, než kdyby běžel jen přítok! To je nesmysl — pokud odtok něco odbírá, naplnění musí trvat déle. Vždy si po výpočtu polož logickou otázku: „má to smysl?"
Častá chyba č. 2: Předpoklad, že pokud je přítok 4 h a odtok 6 h, společný čas je „někde mezi" (5 h). To neplatí. Když přítok přidává a odtok ubírá, celkový čas je delší než samotný přítok — protože z přidaného se část stratí. Vždy musíš spočítat skrz tempo.
Tip pro CERMAT: U úloh s „přítokem a odtokem" si představ fyzické přidávání a ubírání. Každou hodinu se přidá 1/4 a odebere 1/6. Per saldo přibyde 1/12. To je úplně stejná logika jako úloha „X přidá, Y ubere" v jakémkoli kontextu — peníze ve spořící skupince, obyvatelé ve vesnici (kategorie sčítání-odčítání).
Souhrnný vzorec pro práci s více pracovníky:
• Stejným směrem (společná práce): sečti tempa. Čas = 1 ÷ součet temp.
• Proti sobě (přítok vs odtok): odečti tempa. Čas = 1 ÷ rozdíl temp. (Pokud je rozdíl záporný, „proces" se nikdy nedokončí.)