Tři sourozenci a kapesné
Otec dal svým třem dětem dohromady 60 Kč kapesného. Aby to bylo spravedlivé podle věku, rozdělil je v poměru 1 : 2 : 3 — nejmladší dostal nejméně, nejstarší nejvíc.
a) Na kolik dílů otec kapesné celkem rozdělil?
b) Kolik Kč připadá na jeden díl?
c) Kolik Kč dostalo každé dítě?
Zobrazit řešení
Tato úloha procvičuje rozdělení celku v zadaném poměru. Princip je velmi přímočarý, jakmile pochopíš, co poměr znamená.
Poměr 1 : 2 : 3 říká: nejmladší dostane jeden díl, prostřední dva díly, nejstarší tři díly. Celkem se peníze rozdělí na 1 + 2 + 3 = 6 dílů. Na jeden díl tedy připadá celková částka ÷ počet dílů.
Postup ve třech krocích:
1. Sečti všechna čísla v poměru → celkový počet dílů.
2. Vyděl celkovou částku počtem dílů → hodnota jednoho dílu.
3. Vynásob hodnotu dílu počtem dílů pro každou osobu → částky jednotlivých osob.
-
Počet dílů celkem.
Poměr 1 : 2 : 3.
1 + 2 + 3 = 6 dílů.
Otec kapesné rozdělil na celkem 6 dílů. -
Hodnota jednoho dílu.
60 Kč ÷ 6 = 10 Kč.
Na jeden díl připadá 10 Kč. -
Kolik dostalo každé dítě.
Nejmladší: 1 díl × 10 Kč = 10 Kč.
Prostřední: 2 díly × 10 Kč = 20 Kč.
Nejstarší: 3 díly × 10 Kč = 30 Kč.
Kontrola: 10 + 20 + 30 = 60 Kč. ✓ Souhlasí s celkovou částkou. Poměr 10 : 20 : 30 = 1 : 2 : 3 (po vydělení deseti). ✓ Sedí.
a) Otec kapesné rozdělil na celkem 6 dílů.
b) Na jeden díl připadá 10 Kč.
c) Nejmladší dostal 10 Kč, prostřední 20 Kč, nejstarší 30 Kč.
Častá chyba č. 1: Žák si myslí, že poměr 1 : 2 : 3 znamená „první dostane 1, druhý 2, třetí 3" v konkrétních korunách. Ne — to je relativní poměr, ne absolutní částka. Skutečné částky závisí na tom, kolik se má rozdělit.
Častá chyba č. 2: Vynechání kroku „sečíst díly". Žák rovnou počítá „60 ÷ 1 = 60 nejmladší, 60 ÷ 2 = 30 prostřední, 60 ÷ 3 = 20 nejstarší" — což je úplně mimo, navíc by součet byl 110, ne 60. Vždy nejdřív sečti všechna čísla z poměru, aby ses dozvěděl, na kolik dílů celkem se to dělí.
Tip pro CERMAT: U úloh s poměry si vždy ověř kontrolu — sečti částky všech osob a porovnej s původním celkovým údajem. Pokud nesedí, někde je chyba.
Pomůcka „díly jako sklenice": Představ si poměr 1:2:3 jako tři různě velké sklenice. První pojme 1 jednotku tekutiny, druhá 2 jednotky, třetí 3 jednotky. Celkem 6 jednotek. Pokud máš na rozdělení 60 litrů tekutiny, na 1 jednotku sklenice připadá 10 litrů. První sklenice: 10 l, druhá: 20 l, třetí: 30 l.
Další úlohy: Pokud poměr není 1:2:3, ale 2:3:5 (a celek 100), pak 2+3+5 = 10 dílů, na jeden díl 100÷10 = 10. Částky: 20, 30, 50. Stejný postup.