Třída na vycházce
Učitelka chystá vycházku se třídou 5.B. Ve třídě je celkem 28 žáků, z toho je dívek o 4 více než chlapců.
a) Kolik je ve třídě dívek a kolik chlapců?
b) Kolik dalších chlapců by muselo do třídy přijít, aby počet dívek a chlapců byl stejný?
c) Učitelka chce posadit žáky do lavic po dvojicích (1 chlapec + 1 dívka). Kolik takových dvojic vznikne a kolik žáků zůstane bez dvojice?
Zobrazit řešení
Tato úloha je klasická CERMAT úloha o dvou neznámých, kdy znáš součet (28 žáků) a rozdíl (dívek je o 4 více). Existují dva způsoby, jak ji vyřešit — oba zafungují, vyber si, který ti je bližší.
Metoda 1 — „odeber přebytek": Představ si, že z dívek dočasně odebereš oněch „4 navíc". Pak by bylo dívek a chlapců stejně. Zbývající počet (28 − 4 = 24) by se rozdělil přesně napůl: 12 dívek + 12 chlapců. K tomu zpátky přidáme oněch „4 navíc" k dívkám: 12 + 4 = 16 dívek. Chlapců zůstává 12.
Metoda 2 — „úvaha po jednom": Začni s předpokladem, že je stejně dívek jako chlapců: 14 + 14 = 28. Ale my víme, že je dívek o 4 víc než chlapců. Takže od chlapců „odebereme" 2 a přidáme je k dívkám: 14 − 2 = 12 chlapců, 14 + 2 = 16 dívek. (Toto pravidlo „rozděl rozdíl na půl a posuň" funguje vždy.)
Obě metody dají stejný výsledek: 12 chlapců, 16 dívek.
-
Počet dívek a chlapců. (Metoda „odeber přebytek")
Celkem 28 žáků. Dívek je o 4 více než chlapců.
Kdybychom od dívek dočasně odebrali oněch „4 navíc", zbývalo by celkem 28 − 4 = 24 žáků, a to rovným dílem chlapců a dívek:
24 ÷ 2 = 12 chlapců a 12 (původně) dívek.
Vrátíme „4 navíc" zpátky k dívkám: 12 + 4 = 16 dívek.
Chlapců zůstává 12.
Kontrola: 16 + 12 = 28 ✓ a 16 − 12 = 4 ✓. -
Kolik chlapců by muselo přijít, aby byl počet stejný.
Aktuálně: 16 dívek, 12 chlapců. Rozdíl je 4 ve prospěch dívek.
Aby byl počet stejný, musí přijít 4 další chlapci (pak by bylo 16 = 16). -
Dvojice (1 chlapec + 1 dívka).
Páry vznikají dvojí — kolik je chlapců, tolik je párů. Chlapců je jen 12 → vznikne 12 párů.
V párech je tedy 12 chlapců + 12 dívek = 24 žáků.
Bez dvojice zůstanou: 16 dívek − 12 dívek = 4 dívky.
(Z chlapců nezůstal nikdo bez dvojice — všichni jsou „v páru".)
a) Ve třídě je 16 dívek a 12 chlapců.
b) Pro vyrovnání by muselo přijít ještě 4 chlapců.
c) Vznikne 12 dvojic a 4 dívky zůstanou bez dvojice.
Častá chyba č. 1: Žák napíše „dívek o 4 víc, tedy dívek 28 − 4 = 24 a chlapců 4" nebo „dívek 14 + 4 = 18 a chlapců 14". Obě úvahy jsou špatně. Klíčové slovo „o 4" znamená rozdíl, ne že tu „4" prostě odečteš z celku nebo přičteš k „nějaké" polovině. Vždy si nejdřív rozmysli, kdo je „základ" (chlapci) a komu se přidává (dívkám), a teprve potom počítej.
Častá chyba č. 2: Zapomenutí na kontrolu. Žák odpoví „16 dívek a 12 chlapců", ale nezkontroluje. Vždy si kontroluj dvě věci: (1) součet sedí (16 + 12 = 28 ✓) a (2) rozdíl sedí (16 − 12 = 4 ✓). Pokud nesedí jedno z toho, máš chybu.
Tip pro CERMAT: Když znáš součet a rozdíl dvou čísel, pomůcka je vždy stejná:
• Větší číslo = (součet + rozdíl) ÷ 2
• Menší číslo = (součet − rozdíl) ÷ 2
V naší úloze: dívky = (28 + 4) ÷ 2 = 16. Chlapci = (28 − 4) ÷ 2 = 12. Tento vzorec si zapamatuj — funguje vždy.
Pomůcka „nakresli si": Někdy pomůže nakreslit dvě „čáry" — kratší a delší — kde delší má svůj „přebytek" navrch. Když si přebytek odstřihneš a zbytek rozdělíš na půl, dostaneš základ. K základu pak přidáš přebytek zpátky.