Pirátova truhla
Pirát Sebastian našel na pustém ostrově truhlu se zámkem na šestimístný kód. K truhle byl přilepený vzkaz:
Použij každou z cifer 1, 2, 4, 5, 7, 8 právě jednou.
Sestav největší možné šestimístné číslo, které je sudé
a jehož ciferný součet je dělitelný třemi.
a) Jaký je ciferný součet všech daných cifer? Je tato podmínka už splněna sama o sobě?
b) Které cifry mohou stát na posledním místě, aby bylo číslo sudé?
c) Jaký je správný kód k truhle?
Zobrazit řešení
Tahle úloha je klasický CERMAT skládací příklad: máš víc podmínek a musíš všechny splnit najednou. Klíčem je nečíst zadání jen jednou. Vypíšeš si podmínky pod sebe, vyřešíš je postupně a teprve potom skládáš číslo.
Podmínky:
1) každá cifra z {1, 2, 4, 5, 7, 8} právě jednou,
2) číslo je co největší,
3) číslo je sudé,
4) ciferný součet je dělitelný třemi.
Strategie: nejdřív zkontroluj, jestli některá podmínka neplatí automaticky (může ti to ušetřit práci). Pak postupuj od nejomezujícího kritéria k nejvolnějšímu — tady od poslední cifry (musí být sudá), zbytek pak naskládáš odshora dolů.
-
Ciferný součet daných cifer.
1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27.
27 : 3 = 9, takže 27 je dělitelné třemi. ✓
Důležitý postřeh: ať seřadíme cifry jakkoliv, ciferný součet bude vždycky 27 (sčítáme stejné cifry). Podmínka 4 je tedy splněna automaticky a nemusíme se o ni dál starat. -
Které cifry mohou stát na konci.
Sudé cifry v naší množině jsou 2, 4 a 8. Jedna z nich musí být úplně vpravo (cifra jednotek). -
Strategie pro „co největší".
Aby bylo celé číslo největší, chceme mít nejvyšší cifry vlevo. Cifra na konci nám tedy „obětuje" jeden řád — chceme tam dát tu nejmenší ze sudých, abychom 8 a další vysoké cifry mohli použít vlevo.
Zkusíme tedy na konec 2. Zbývající cifry {1, 4, 5, 7, 8} seřadíme od největší: 8, 7, 5, 4, 1.
Číslo: 875 412. -
Ověření, že je to opravdu maximum.
Co kdyby na konci byla 4? Zbytek {1, 2, 5, 7, 8} → 875 214. To je menší než 875 412.
Co kdyby na konci byla 8? Zbytek {1, 2, 4, 5, 7} → 754 218. To je výrazně menší.
Maximum je tedy 875 412. ✓ -
Závěrečná kontrola podmínek:
• Šestimístné číslo z cifer {1, 2, 4, 5, 7, 8} každá jednou ✓
• Sudé (končí 2) ✓
• Ciferný součet 8+7+5+4+1+2 = 27, dělitelné 3 ✓
• Největší možné ✓
a) Ciferný součet je 27, a protože 27 je dělitelné třemi, podmínka platí automaticky pro každé uspořádání těchto cifer.
b) Aby bylo číslo sudé, musí na konci stát jedna z cifer 2, 4 nebo 8.
c) Správný kód k truhle je 875 412.
Častá chyba č. 1: Dítě napíše rovnou 875 421 (sestoupá cifry od největší) a zapomene zkontrolovat, že číslo musí být sudé. 875 421 končí na 1, je tedy liché a podmínku nesplňuje. Klasický „rychlý" omyl. Vždy si po sestavení odpovědi projdi všechny podmínky znovu.
Častá chyba č. 2: Záměna „dělitelné třemi" a „obsahuje trojku". Dělitelné třemi znamená, že po dělení třemi nezbyde zbytek (27 ÷ 3 = 9, zbytek 0). Nemá to nic společného s tím, jestli v číslu cifra 3 fyzicky je nebo ne.
Strategie pro podobné úlohy: Když je úkolem najít největší nebo nejmenší číslo s nějakou vlastností, začni vždy od pozice s nejsilnější podmínkou. Tady to byla jednotková cifra (musí být sudá). Až pak skládáš zbytek.