Bratr dohání sestru
Anežka vyrazila z domova pěšky k babičce do sousední vesnice. Šla průměrnou rychlostí 6 km/h.
Po 20 minutách si všimla, že zapomněla doma cukroví, které měla babičce odnést. Telefonicky vzkázala bratrovi, aby ji dohonil. Bratr vyrazil okamžitě na kole rychlostí 18 km/h stejným směrem.
a) Jakou vzdálenost od domova už Anežka ušla, když bratr vyrážel?
b) Jak rychle se bratr k Anežce přibližuje (rychlost dohánění)?
c) Za jak dlouho po svém vyjetí bratr Anežku dožene?
d) V jaké vzdálenosti od domova se sourozenci potkají?
Zobrazit řešení
Tato úloha je klasický příklad „dohánění". Liší se od „proti sobě" v jednom klíčovém bodě: oba objekty se pohybují stejným směrem, takže rychlosti se odčítají, ne sčítají.
Logika: Anežka jde 6 km/h a bratr jede 18 km/h. Každou hodinu se bratr „přibližuje" k Anežce o 18 − 6 = 12 km. Tomu říkáme rychlost dohánění.
Druhým klíčovým pojmem je náskok — Anežka už 20 minut šla, takže má před bratrem náskok určitý počet kilometrů. Tento náskok musí bratr „smazat" právě rychlostí dohánění.
Vzorec:
čas dohánění = náskok ÷ rychlost dohánění
-
Náskok Anežky.
Anežka šla 20 minut rychlostí 6 km/h.
Převedeme čas na hodiny: 20 min = 20 ÷ 60 = 1/3 hodiny.
Náskok: 6 × 1/3 = 2 km.
Anežka má před bratrem náskok 2 km, když bratr vyráží. -
Rychlost dohánění.
Odečteme rychlost Anežky od rychlosti bratra:
18 − 6 = 12 km/h.
Každou hodinu bratr „ukrojí" 12 km z Anežčina náskoku. -
Doba dohánění.
Náskok 2 km dělíme rychlostí dohánění 12 km/h:
t = 2 ÷ 12 = 1/6 hodiny = 10 minut.
Bratr Anežku dožene 10 minut po svém vyjetí. -
Vzdálenost od domova v okamžiku setkání.
Bratr za 10 minut na kole ujel: 18 × 1/6 = 3 km.
Sourozenci se potkají 3 km od domova.
Kontrola Anežčinou stranou: Anežka celkem šla 20 + 10 = 30 minut = 0,5 hodiny rychlostí 6 km/h.
6 × 0,5 = 3 km. ✓
Oba dorazili na stejné místo 3 km od domova — výpočet je správný.
a) Anežčin náskok je 2 km.
b) Bratr ji dohání rychlostí 12 km/h.
c) Dohoní ji za 10 minut (po vyjetí).
d) Setkání proběhne 3 km od domova.
Častá chyba č. 1: Sčítání místo odčítání rychlostí. „Pohybují se oba, takže sečtu rychlosti." Tahle úvaha funguje jen u úloh „proti sobě". U dohánění (stejný směr) se rychlosti odčítají. Pomůcka: představ si, že oba jedou stejnou rychlostí stejným směrem — pak by se nikdy nedohnali (rychlost dohánění = 0). Když je bratr rychlejší, ukrojuje z náskoku. Rozdíl rychlostí určuje, jak rychle.
Častá chyba č. 2: Zapomenutí na náskok. Žák napíše „bratr ujede za 10 minut 3 km, Anežka taky", aniž by zohlednil, že Anežka už 20 minut šla. Anežčiných celkových 30 minut chůze (20 + 10) musí dát 3 km, ne jen oněch 10 minut. Vždy si rozmysli, kolik času každý z objektů pohybu strávil v pohybu.
Tip pro CERMAT: U úloh na dohánění si nakresli časovou osu se dvěma „čarami" pro každý objekt. Anežka: od 0 do dohánění. Bratr: od +20 min do dohánění. V bodě setkání musí mít oba stejnou vzdálenost od domova. Tato vizualizace eliminuje 90 % chyb.
Souhrn vzorců pro pohybové úlohy:
• Jeden objekt: s = v × t (dráha, rychlost, čas).
• Dva objekty proti sobě: rychlost přibližování = součet rychlostí; čas setkání = vzdálenost ÷ součet rychlostí.
• Dva objekty stejným směrem (dohánění): rychlost dohánění = rozdíl rychlostí; čas dohánění = náskok ÷ rozdíl rychlostí.